二次函数知识点总结及中考题型总结 -金棋牌

..二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结（一）二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc= （abc，，是常数，0aﾹ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0aﾹ，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数2yaxbxc= 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：2yax=的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.2yaxc= 的性质：上加下减。’.a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a>向上()00，y轴0x>时，y随x的增大而增大；0x<时，y随x的增大而减小；0x=时，y有最小值0．0a<向下()00，y轴0x>时，y随x的增大而减小；0x<时，y随x的增大而增大；0x=时，y有最大值0．..3.()2yaxh=−的性质：左加右减。4.()2yaxhk=− 的性质：’.a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a>向上()0c，y轴0x>时，y随x的增大而增大；0x<时，y随x的增大而减小；0x=时，y有最小值c．0a<向下()0c，y轴0x>时，y随x的增大而减小；0x<时，y随x的增大而增大；0x=时，y有最大值c．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a>向上()0h，x=hxh>时，y随x的增大而增大；xh<时，y随x的增大而减小；xh=时，y有最小值0．0a<向下()0h，x=hxh>时，y随x的增大而减小；xh<时，y随x的增大而增大；xh=时，y有最大值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a>向上()hk，x=hxh>时，y随x的增大而增大；xh<时，y随x的增大而减小；xh=时，y有最小值k．0a<向下()hk，x=hxh>时，y随x的增大而减小；xh<时，y随x的增大而增大；xh=时，y有最大值k．..三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2yaxhk=− ，确定其顶点坐标()hk，；⑵保持抛物线2yax=的形状不变，将其顶点平移到()hk，处，具体平移方法如下：向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2 ky=a(x-h)2y=ax2 ky=ax22.平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴cbxaxy =2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy =2变成mcbxaxy =2（或mcbxaxy− =2）⑵cbxaxy =2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy =2变成cmxbmxay =)()(2（或cmxbmxay − −=)()(2）四、二次函数()2yaxhk=− 与2yaxbxc= 的比较从解析式上看，()2yaxhk=− 与2yaxbxc= 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbyaxaa−��= ����，其中2424bacbhkaa−=−=，．’...五、二次函数2yaxbxc= 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc= 化为顶点式2()yaxhk=− ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点()0c，、以及()0c，关于对称轴对称的点()2hc，、与x轴的交点()10x，，()20x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数2yaxbxc= 的性质1.当0a>时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa=− ，顶点坐标为 2 4 2 4 b ac b a a � � − − � � � � ， ． 当 2 b x a < − 时， y 随 x 的增大而减小；当 2 b x a > − 时， y 随 x 的增大而增大；当 2 b x a = − 时， y 有最小值 2 4 4 ac b a − ． 2. 当 0 a < 时，抛物线开口向下，对称轴为 2 b x a = − ，顶点坐标为 2 4 2 4 b ac b a a � � − − � � � � ， ． 当 2 b x a < − 时， y 随 x 的增大而增大；当 2 b x a > − 时， y 随 x 的增大而减小；当 2 b x a = − 时， y 有最大值 2 4 4 ac b a − ． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： 2 y ax bx c = （ a ， b ， c 为常数， 0 a ﾹ ）； 2. 顶点式： 2 ( ) y a x h k = − （ a ， h ， k 为常数， 0 a ﾹ ）； 3. 两根式： 1 2 ( )( ) y a x x x x = − − （ 0 a ﾹ ， 1 x ， 2 x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次 函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 2 4 0 b ac − ﾳ 时，抛物 线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互 化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 ’. . . 1. 二次项系数 a 二次函数 2 y ax bx c = 中， a 作为二次项系数，显然 0 a ﾹ ． ⑴ 当 0 a > 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小， 开口越大； ⑵ 当 0 a < 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大， 开口越大． 总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在 0 a > 的前提下， 当 0 b > 时， 0 2 b a − < ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧； 当 0 b = 时， 0 2 b a − = ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 当 0 b < 时， 0 2 b a − > ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧． ⑵ 在 0 a < 的前提下，结论刚好与上述相反，即 当 0 b > 时， 0 2 b a − > ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧； 当 0 b = 时， 0 2 b a − = ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 当 0 b < 时， 0 2 b a − < ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧． 总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置． ’. . . ab 的符号的判定：对称轴 a b x 2 − = 在 y 轴左边则 0 > ab ，在 y 轴的右侧则 0 < ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项 c ⑴ 当 0 c > 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐 标为正； ⑵ 当 0 c = 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐 标为 0 ； ⑶ 当 0 c < 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐 标为负． 总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置． 总之，只要 a b c ，， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法 求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便． 一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称 ’. . . 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称 2 y ax bx c = 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 2 y ax bx c = − − − ； ( ) 2 y a x h k = − 关于x 轴对称后，得到的解析式是 ( ) 2 y a x h k = − − − ； 2. 关于 y 轴对称 2 y ax bx c = 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 2 y ax bx c = − ； ( ) 2 y a x h k = − 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 ( ) 2 y a x h k = ； 3. 关于原点对称 2 y ax bx c = 关于原点对称后，得到的解析式是 2 y ax bx c = − − ； ( ) 2 y a x h k = − 关于原点对称后，得到的解析式是 ( ) 2 y a x h k = − − ； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2 y ax bx c = 关于顶点对称后，得到的解析式是 2 2 2 b y ax bx c a = − − − ； ( ) 2 y a x h k = − 关于顶点对称后，得到的解析式是 ( ) 2 y a x h k = − − ． 5. 关于点 ( ) m n ， 对称 ( ) 2 y a x h k = − 关于点 ( ) m n ， 对称后，得到的解析式是 ( ) 2 2 2 y a x h m n k = − − − 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变 化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方 便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的 抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）： 一元二次方程 2 0 ax bx c = 是二次函数 2 y ax bx c = 当函数值 0 y = 时的特殊情况. ’. . . 图象与 x 轴的交点个数： ① 当 2 4 0 b ac ∆ = − > 时，图象与 x 轴交于两点 ( ) ( ) 1 2 0 0 a x b x ，，， 1 2 ( ) x x ﾹ ，其中的 1 2 x x ， 是一元二次方程 ( ) 2 0 0 ax bx c a = ﾹ 的两根．这两点间的距离 2 2 1 4 b ac ab x x a − = − = . ② 当 0 ∆ = 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③ 当 0 ∆ < 时，图象与 x 轴没有交点. 1' 当 0 a > 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 0 y > ； 2' 当 0 a < 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 0 y < ． 2. 抛物线 2 y ax bx c = 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为 (0 ， ) c ； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶 点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 2 y ax bx c = 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函 数中 a ， b